Thư viện bài toán

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $1$ và $\widehat{ABD}=60^{{}^{\circ }}$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BI}$.

Hai chiếc tàu thủy $P$ và $Q$ trên biển cách nhau $100m$ và thẳng hàng với chân $A$ của tháp hải đăng $AB$ ở trên bờ biển. Từ $P$ và $Q$ người ta nhìn chiều cao $AB$ của tháp dưới các góc $\widehat{BPA}=15^{{}^{\circ }}$ và $\widehat{BQA}=55^{{}^{\circ }}$. Tính chiều cao của tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=1$ và $AD=\sqrt{2}$. Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AD$. Tính $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trên hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $B^{{}^{\prime }}$ và $C^{{}^{\prime }}$ sao cho $AB\cdot A{B}^{{}^{\prime }}=AC\cdot A{C}^{{}^{\prime }}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B΄C΄}$

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $1$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R,M$ là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn $(O)$. Tính $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$.

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 3. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=1$, trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $DN=1$ và $P$ là trung điểm $BC$. Tính $\cos \widehat{MNP}$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục