Thư viện bài toán

Một hợp tác xã sản xuất hai loại sản phẩm: rau sạch và trái cây. Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm hai loại. Mỗi rau sạch cần 4 đơn vị diện tích và 1 đơn vị lao động; mỗi trái cây cần 1 đơn vị diện tích và 4 đơn vị lao động. Nguồn lực hiện có không quá 100 đơn vị diện tích và 114 đơn vị lao động. Khi đó:
(a) Điều kiện không âm là $x\ge 0,y\ge 0$.
(b) Bất phương trình về diện tích là $4x+y\le 100$.
(c) Điểm $(12;9)$ chắc chắn không thuộc miền nghiệm của bài toán.
(d) Nếu lợi nhuận mỗi rau sạch là 5 đơn vị và mỗi trái cây là 2 đơn vị thì bài toán tìm lợi nhuận lớn nhất là một bài toán tối ưu tuyến tính.

Một cơ sở sản xuất sản xuất hai loại sản phẩm: bàn học và ghế học. Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm hai loại. Mỗi bàn học cần 3 đơn vị gỗ và 4 đơn vị nhân công; mỗi ghế học cần 4 đơn vị gỗ và 3 đơn vị nhân công. Nguồn lực hiện có không quá 90 đơn vị gỗ và 102 đơn vị nhân công. Khi đó:
(a) Điều kiện không âm là $x\ge 0,y\ge 0$.
(b) Bất phương trình về gỗ là $3x+4y\le 90$.
(c) Điểm $(15;11)$ chắc chắn không thuộc miền nghiệm của bài toán.
(d) Nếu lợi nhuận mỗi bàn học là 4 đơn vị và mỗi ghế học là 5 đơn vị thì bài toán tìm lợi nhuận lớn nhất là một bài toán tối ưu tuyến tính.

Một xưởng may sản xuất hai loại sản phẩm: áo sơ mi và quần tây. Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm hai loại. Mỗi áo sơ mi cần 2 đơn vị giờ cắt và 3 đơn vị giờ may; mỗi quần tây cần 3 đơn vị giờ cắt và 2 đơn vị giờ may. Nguồn lực hiện có không quá 80 đơn vị giờ cắt và 90 đơn vị giờ may. Khi đó:
(a) Điều kiện không âm là $x\ge 0,y\ge 0$.
(b) Bất phương trình về giờ cắt là $2x+3y\le 80$.
(c) Điểm $(20;15)$ chắc chắn không thuộc miền nghiệm của bài toán.
(d) Nếu lợi nhuận mỗi áo sơ mi là 3 đơn vị và mỗi quần tây là 4 đơn vị thì bài toán tìm lợi nhuận lớn nhất là một bài toán tối ưu tuyến tính.

Một trang trại phối trộn hai loại thức ăn X và Y. Gọi x, y lần lượt là số kg thức ăn X và Y. Mỗi kg X có 17 đơn vị dinh dưỡng, mỗi kg Y có 14 đơn vị dinh dưỡng. Khẩu phần cần ít nhất 109 đơn vị dinh dưỡng và tổng khối lượng không quá 46 kg. Khi đó:
(a) Điều kiện dinh dưỡng là $17x+14y\ge 109$.
(b) Điều kiện tổng khối lượng là $x+y\le 46$.
(c) Nếu $x,y$ là khối lượng thì không cần điều kiện không âm.
(d) Hệ điều kiện thu được là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một đội tình nguyện chuẩn bị hai loại phần quà A và B. Gọi x, y lần lượt là số phần quà A và B. Tổng số phần quà không vượt quá 128; số phần quà A ít nhất 28; số phần quà B không quá 68. Khi đó:
(a) Hệ điều kiện có thể viết $x+y\le 128,x\ge 28,y\le 68,x\ge 0,y\ge 0$.
(b) Điểm $(28;68)$ luôn thuộc miền nghiệm.
(c) Nếu mỗi phần A cần 2 phút đóng gói, mỗi phần B cần 3 phút đóng gói thì thời gian đóng gói là $2x+3y$.
(d) Điều kiện “không vượt quá” thường dẫn đến dấu $\ge$.

Một người đầu tư không quá 221 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Khoản X phải ít nhất 37 triệu đồng, và số tiền đầu tư vào X ít nhất gấp 2 lần số tiền đầu tư vào Y. Gọi x, y lần lượt là số tiền đầu tư vào X, Y. Khi đó:
(a) Ta có điều kiện $x+y\le 221$.
(b) Ta có điều kiện $x\ge 37$.
(c) Điều kiện “X ít nhất gấp 2 lần Y” được viết là $y\ge 2x$.
(d) Điểm $(37;0)$ thỏa các điều kiện của bài toán.

Một khẩu phần cần ít nhất 56 đơn vị chất A và 31 đơn vị chất B. Thực phẩm X cung cấp 9 đơn vị A và 6 đơn vị B; thực phẩm Y cung cấp 14 đơn vị A và 5 đơn vị B. Gọi x, y lần lượt là số phần thực phẩm X, Y sử dụng, với $0\le x\le 12,0\le y\le 9$. Khi đó:
(a) Điều kiện về chất A là $9x+14y\ge 56$.
(b) Điều kiện về chất B là $6x+5y\le 31$.
(c) Hệ điều kiện của bài toán là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
(d) Nếu giá mỗi phần X là 21 nghìn đồng, mỗi phần Y là 27 nghìn đồng thì chi phí cần tối thiểu có dạng $T=2x+27y$.

Một khẩu phần cần ít nhất 55 đơn vị chất A và 30 đơn vị chất B. Thực phẩm X cung cấp 8 đơn vị A và 5 đơn vị B; thực phẩm Y cung cấp 13 đơn vị A và 4 đơn vị B. Gọi x, y lần lượt là số phần thực phẩm X, Y sử dụng, với $0\le x\le 11,0\le y\le 8$. Khi đó:
(a) Điều kiện về chất A là $8x+13y\ge 55$.
(b) Điều kiện về chất B là $5x+4y\le 30$.
(c) Hệ điều kiện của bài toán là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
(d) Nếu giá mỗi phần X là 20 nghìn đồng, mỗi phần Y là 26 nghìn đồng thì chi phí cần tối thiểu có dạng $T=20x+26y$.

Một khẩu phần cần ít nhất 54 đơn vị chất A và 29 đơn vị chất B. Thực phẩm X cung cấp 12 đơn vị A và 4 đơn vị B; thực phẩm Y cung cấp 12 đơn vị A và 3 đơn vị B. Gọi x, y lần lượt là số phần thực phẩm X, Y sử dụng, với $0\le x\le 10,0\le y\le 12$. Khi đó:
(a) Điều kiện về chất A là $12x+12y\ge 54$.
(b) Điều kiện về chất B là $4x+3y\le 29$.
(c) Hệ điều kiện của bài toán là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
(d) Nếu giá mỗi phần X là 24 nghìn đồng, mỗi phần Y là 25 nghìn đồng thì chi phí cần tối thiểu có dạng $T=24x+25y$.

Một cửa hàng sản xuất hai loại sản phẩm: bộ dụng cụ A và bộ dụng cụ B. Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm hai loại. Mỗi bộ dụng cụ A cần 4 đơn vị kho chứa và 4 đơn vị vốn; mỗi bộ dụng cụ B cần 4 đơn vị kho chứa và 4 đơn vị vốn. Nguồn lực hiện có không quá 130 đơn vị kho chứa và 126 đơn vị vốn. Khi đó:
(a) Điều kiện không âm là $x\ge 0,y\ge 0$.
(b) Bất phương trình về kho chứa là $4x+4y\le 130$.
(c) Điểm $(16;10)$ chắc chắn không thuộc miền nghiệm của bài toán.
(d) Nếu lợi nhuận mỗi bộ dụng cụ A là 6 đơn vị và mỗi bộ dụng cụ B là 5 đơn vị thì bài toán tìm lợi nhuận lớn nhất là một bài toán tối ưu tuyến tính.