Thư viện bài toán

Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính $A$ và $B$, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng. Loại máy $A$ mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy $B$ mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại $A$ là $x$ và số máy tính loại $B$ là $y$.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán $x$ máy tính loại $A$ và $y$ máy tính loại $B$. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Xét biểu thức $F\left(x;y\right)=2x+3y$ với $\left(x;y\right)$ thuộc miền tam giác $OAB$ ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là $O\left(0;0\right)$, $A\left(150;0\right)$ và $B\left(0;150\right)$ (H.2.5).

a) Tính giá trị của biểu thức $F\left(x;y\right)$ tại mỗi đỉnh $O$, $A$ và $B$.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ $x$ và tung độ $y$ của điểm $\left(x;y\right)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $F\left(x;y\right)$ trên miền tam giác $OAB$.

c) Nêu nhận xét về tổng $x+y$ của điểm $\left(x;y\right)$ nằm trong miền tam giác $OAB$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $F\left(x;y\right)$ trên miền tam giác $OAB$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y>0\\ x+y\le 100\\ 2x+y<120\end{array}$$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

$$\{\begin{array}{l}7x+4y\le 2400\\ x+y\le 100\\ x\ge 0\end{array}$$

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích $8ha$. Trên diện tích mỗi $ha$, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu $ha$ để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.

Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa $600$đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $1,6$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là $160$ nghìn đồng, một kg thịt lợn là $110$ nghìn đồng. Gọi $x$,$y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm $x$,$y$ để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi $500$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi $400$ nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Chiến phải làm việc trong $3$ giờ, Bình phải làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì Chiến phải làm việc trong $2$ giờ, Bình phải làm việc trong $6$ giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá $180$ giờ và Bình không thể làm việc quá $220$ giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.

Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?

Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích $800$m². Nếu trồng đậu thì cần $20$ công và thu $\mathrm{3.000.000}$ đồng trên $100$m² nếu trồng cà thì cần $30$ công và thu $\mathrm{4.000.000}$ đồng trên $100$ m². Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá $180$.

Tìm trị lớn nhất của biểu thức $F\left(x;y\right)=x+2y$, với điều kiện $$\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}$$.