Thư viện bài toán

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ với $O$ là điểm bất kì.

Cho tam giác $ABC$. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành $ABIJ,BCPQ,CARS$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Cho $n$ điểm $A_1,A_2,A_3,...,A_n$, xác định vectơ
$\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}+\overrightarrow{A_{n-2}{A}_{n-1}}+\overrightarrow{A_{n-3}{A}_{n-2}}+...+\overrightarrow{A_2{A}_3}+\overrightarrow{A_1{A}_2}$.

Cho tam giác $ABC$, xác định các vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Cho tam giác $ABC$, đặt: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để:
a) $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|$.
b) $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AD,BC$ và $G$ là trung điểm $IJ$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $G$ qua $I,Q$ là điểm đối xứng của $G$ qua $J$. Chứng minh các đẳng thức vecto sau:
a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GP};\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GQ}$.
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác vuông $ABC$, với cạnh huyền $BC=12$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.