Thư viện bài toán

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AD,BC$ và $G$ là trung điểm $IJ$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $G$ qua $I,Q$ là điểm đối xứng của $G$ qua $J$. Chứng minh các đẳng thức vecto sau:
a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GP};\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GQ}$.
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác vuông $ABC$, với cạnh huyền $BC=12$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.

Cho tam giác $ABC$. Xác định điểm $M$ thỏa điều kiện $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$, với $O$ là điểm bất kì.

Cho bốn điểm bất kỳ $A,B,C$ và $D$. Hãy chứng minh đẳng thức: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ với tâm là $O$. Tính:
$a$ Độ dài vectơ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}$ (b) Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right|$.

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$.
1) Tìm các hiệu sau $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN};\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}$;
2) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

Cho hình bình hành $ABCD$ với $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Tìm tổng của hai vectơ:
$a$ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$ (b) $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$

Một ô nền trang trí có dạng hình thoi $ABCD$, cạnh $6$ m và góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ lớn vectơ $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AO}$. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.