Thư viện bài toán

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;K$ là trung điểm của $IJ;M$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$
(b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IJ}$
(c) $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MK}$
(d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MK}$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;K$ là trung điểm của $IJ;M$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{IJ}$
(b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$
(c) $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MK}$
(d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MK}$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;K$ là trung điểm của $IJ;M$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$
(b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$
(c) $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MK}$
(d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MK}$

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khi đó:
(a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\right|$ khi và chỉ khi tập hợp điểm M là đường tròn tâm B, bán kính $R=CG$.
(b) $2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ khi và chỉ khi tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GI (với I là trung điểm của B(C).
(c) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=2028$ khi và chỉ khi tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính $R=626$.
(d) $\left|3\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|$ khi và chỉ khi tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng IC với $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O,H$ là trực tâm tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó:
(a) $B\frac{D}{/}CH$
(b) $C\frac{D}{/}BH$
(a) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=3\overrightarrow{HO}$;
(b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}$

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC, $B^{{}^{\prime }}$ là điểm đối xứng của (b) qua G. Khi đó:
(a) Tứ giác $AGC{B}^{{}^{\prime }}$ là hình bình hành
(b) $\overrightarrow{C{B}^{{}^{\prime }}}=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
(c) $\overrightarrow{A{B}^{{}^{\prime }}}=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\text{. }$
(d) $\overrightarrow{M{B}^{{}^{\prime }}}=\frac{-5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm G. Gọi $I,J$ là 2 điểm định bởi $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB},3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$.Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}$
(b) $\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$
(c) $\overrightarrow{IG}=\frac{-5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
(d) 3 điểm $I,J,G$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI=BI.J$ là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho $5JB=JC$. G là trọng tâm $\Delta ABC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{CI}$
(b) $\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$
(c) $\overrightarrow{AJ}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
(d) $\overrightarrow{AG}=\frac{14}{27}\overrightarrow{AI}-\frac{172}{27}\overrightarrow{AJ}$

Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Gọi G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, $A{A}^{{}^{\prime }}$ là đường kính của $(O)$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{{}^{\prime }}C}$
(b) $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$
(c) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=3\overrightarrow{HO}$
(d) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}$