Thư viện bài toán

Một vật đang ở vị trí $O$ chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là ${\overrightarrow{F}}_1$ và $\overrightarrow{F_2}$, trong đó độ lớn lực ${\overrightarrow{F}}_2$ lớn gấp đôi độ lớn lực ${\overrightarrow{F}}_1$. Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực ${\overrightarrow{F}}_3,{\overrightarrow{F}}_4$ có phương hợp với lực ${\overrightarrow{F}}_1$ các góc $45^{{}^{\circ }}$ như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và bằng $20N$. Tính tổng độ lớn của các lực ${\overrightarrow{F}}_1,\overrightarrow{F_2}$. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AE},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AF}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AI}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ ta thu được kết quả dạng $a.\overrightarrow{u}+b.\overrightarrow{v}$ với $a;b$ là các số hữu tỷ. Tính giá trị $S=a+b$.

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Biết $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{IJ}$, khi đó $k=?$

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng $AB,BC,AC$. Gọi $A^{{}^{\prime }},B^{{}^{\prime }},C^{{}^{\prime }}$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua các trung điểm $J,K,I$ của cạnh $BC,AC,AB$. Biết ba đường thẳng $A{A}^{{}^{\prime }},B{B}^{{}^{\prime }},C{C}^{{}^{\prime }}$ đồng quy tại một điểm (đặt điểm đó là $N$). Khi đó $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{MN}=\frac{a}{b}\overrightarrow{MG}$ với $a;b$ là số tự nhiên và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b^2$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $\hat{A}=30^{{}^{\circ }},AB=1$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$, kết quả làm tròn đến hàng phần mười

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;G$ là trung điểm của $EF;O$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{OG}$
(b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$
(c) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
(d) $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;G$ là trung điểm của $EF;O$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
(b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$
(c) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$
(d) $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;G$ là trung điểm của $EF;O$ là điểm bất kì. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
(b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$
(c) $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$
(d) $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $I,J$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ và $3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+1\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$
(b) $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
(c) Điểm $J$ thuộc đường thẳng $BC$
(d) $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{23}{42}\overrightarrow{AC}$