Thư viện bài toán

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là trung điểm $AC$ sao $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm $B,I,K$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại (b) có $\hat{A}=30^0,AB=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Hãy tính:
((a) $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|$ ((b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh (a). Tính
((a) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right|$
((b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$

Cho tam giác $ABC$.
((a) Tìm điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$
((b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Cho hai điểm phân biệt $A,B$. Xác định điểm $M$ biết $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác $ABC$ với $H,O,G$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác. Chứng minh $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Cho tứ giác $ABCD,O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $G,G^{{}^{\prime }}$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $OAB$ và $OCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{G{G}^{{}^{\prime }}}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$.