Thư viện bài toán

Cho tam giác $ABC$ . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
(a)$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$
(b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$ với k là số thực thay đổi

Cho tam giác $ABC$
(a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
(b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho $AB=3AM,CD=2CN$ và G là trọng tâm tam giác $MNB$. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AG}$ qua các véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$

Cho tam giác $ABC$ , trên cạnh BC lấy M sao cho $BM=3CM$, trên đoạn AM lấy N sao cho $2AN=5MN$. G là trọng tâm tam giác $ABC$.
(a) Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BN}$ qua các véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$
(b) Phân tích các vectơ $\overrightarrow{GC},\overrightarrow{MN}$ qua các véc tơ $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$

Cho tam giác $ABC$. Đặt .
(a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn:
(b) Hãy phân tích qua các véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.
(c) Gọi I là điểm thỏa: $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{CM}$. Chứng minh $I,A,N$ thẳng hàng

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng

(a)$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$
(b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$
(c) $\overrightarrow{GH}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$

Cho hai tam giác $ABC$ và $A_1{B}_1{C}_1$ có cùng trọng tâm G. Gọi $G_1,G_2,G_3$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BC{A}_1,AB{C}_1,AC{B}_1$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{G{G}_1}+\overrightarrow{G{G}_2}+\overrightarrow{G{G}_3}=\overrightarrow{0}$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng:
(a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$
(b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
$c$ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$ với M là điểm bất kì

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh (a).
(a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
(b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$