Thư viện bài toán

Cho hai điểm phân biệt $A,B$. Xác định điểm $M$ biết $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác $ABC$ với $H,O,G$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác. Chứng minh $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Cho tứ giác $ABCD,O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $G,G^{{}^{\prime }}$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $OAB$ và $OCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{G{G}^{{}^{\prime }}}$.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$.

Cho tam giác $ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi hệ thức: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\text{//}AC$.

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$ và $K$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $AK=\frac{1}{3}AC$. Chứng minh ba điểm (b), $I,K$ thẳng hàng.

Cho tam giác$ABC$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Cho các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AE},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$.

Cho $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a};\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$.

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\overrightarrow{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.