Thư viện bài toán

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Chứng minh $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.

Cho hai điểm phân biệt $A,B$. Xác định điểm $K$ thỏa $2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh với mọi điểm $O:\overrightarrow{OK}=\frac{2}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Điểm $M$ thuộc $BC$ và $BM=\frac{2}{3}BC$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $AD$ tại $E$. Biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

Chứng minh rằng nếu $G$ và $G^{{}^{\prime }}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A^{{}^{\prime }}{B}^{{}^{\prime }}{C}^{{}^{\prime }}$ thì $3\overrightarrow{G{G}^{{}^{\prime }}}=\overrightarrow{A{A}^{{}^{\prime }}}+\overrightarrow{B{B}^{{}^{\prime }}}+\overrightarrow{C{C}^{{}^{\prime }}}$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}$

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
(a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{EF}$
(b) Gọi $G$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Cho $AK$ và $BM$ là hai trung tuyến của tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại (b) có $\hat{A}=30^0,AB=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Hãy tính:
(a) $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|$ (b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh (a). Tính
(a) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right|$
(b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$

Cho tam giác $ABC$.
(a) Tìm điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$
(b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$