Thư viện bài toán

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp $O$, trọng tâm $G$. Chứng minh $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$ và $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Cho hai tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1$ có cùng trọng tâm $G$. Gọi $G_1,G_2,G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BC{A}_1,CA{B}_1,AB{C}_1$. Chứng minh $G$ là trọng tâm tam giác $G_1{G}_2{G}_3$.

Máy bay $B$ bay cùng phương, ngược hướng với máy bay $A$ và có tốc độ bằng $\frac{3}{4}$ tốc độ của $A$. Biểu diễn $\vec{b}$ theo $\vec{a}$.

Cho tứ giác $ABCD$. Với số thực $k$, lấy $M,N$ sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp $M$ thỏa $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}|$.

Cho tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích $M$ thỏa $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|=6R$.

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tính $|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|$.

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Với điểm $M$ tùy ý, đặt $\vec{u}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$. Chứng minh $\vec{u}$ không phụ thuộc $M$ và tính độ dài.

Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ thỏa $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=0$. Gọi $N\in BC$ sao cho $BN:NC=3:1$. Chứng minh $A,M,N$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Điểm $I$ thuộc $AM$ sao cho $AI=\frac{1}{3}AM$, điểm $K\in AC$ sao cho $AK=\frac{1}{5}AC$. Chứng minh $B,I,K$ thẳng hàng.