Thư viện bài toán

Cho tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$. Khi đó:
(a) $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=60^{{}^{\circ }}$
(b) $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=120^{{}^{\circ }}$
(c) $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)=90{}^{\circ }$
(d) $\left(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{AB}\right)=120^{{}^{\circ }}$

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$, biết $AD=a,BC=3a$ và cạnh $AB=2a$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=-4a^2$
(b) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=2a^2$
(c) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-2a^2$
(d) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{IJ}=6a^2$

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=2a^2$
(b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=a^2$
(c) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{OC}=-a^2$
(d) $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)=a^2$

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ADM$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=a^2$
(b) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{3}$
(c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$
(d) $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=a^2$
[MEDIA_CAN_KIEM_TRA:image6.png]

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,BC=2a$. Khi đó:
(a) $\widehat{ACB}=60^{{}^{\circ }}$
(b) $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2$
(c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=3a^2.$
(d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-4a^2$

Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng 2 và góc $B$ bằng $60^{{}^{\circ }}$. Khi đó:
(a) $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=60^{{}^{\circ }}$
(b) $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}\right)=30^{{}^{\circ }}$
(c) $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=3$
(d) $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=-3$

Cho tam giác $ABC$ đều, đường cao $AH$. Khi đó:
$a$ $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=30{}^{\circ }$
$b$ $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CB}\right)=90^{{}^{\circ }}$
$c$ $\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}\right)=120{}^{\circ }$
$d$ $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}\right)=130{}^{\circ }$

Cho tam giác $ABC$ có có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}=45^{{}^{\circ }}$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}(k\in \mathbb{R})$ (Hình). Khi đó:

(a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=20$
(b) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
(c) $BC=3\sqrt{5}$
(d) $AD\perp BE$ khi $k=\frac{14}{15}$

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Lấy $E$ là trung điểm của $BC$, điểm $F$ thoả mãn $\overrightarrow{BF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}$ Khi đó:

$a$ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
$b$ $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{4}\overrightarrow{AD}.$
$c$ $\overrightarrow{EF}=\frac{-3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.$
$d$ Tam giác $AEF$vuông cân

Cho hình chữ nhật $ABCD,AB=4a,AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$

$a$ $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$
$b$ $\overrightarrow{BG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
$c$ $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$
$d$ $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=-a^2.$