Thư viện bài toán

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho bốn điểm $A\left(7;-3\right),B\left(8;4\right),C\left(1;5\right),D\left(0;-2\right)$. Khi đó:
̣̣(a) $\overrightarrow{AB}=\left(1;7\right),\overrightarrow{AC}=\left(-;68\right)$
(b) $A,B,C$ là ba đỉnh một tam giác.
(c) Tọa độ điểm $K\left(8;4\right)$ là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
(d) Bốn điểm $A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình vuông.

Cho $\overrightarrow{a}=(1,3),\overrightarrow{b}=(6,-2),\overrightarrow{c}=(x,1)$. Khi đó:
$(a)\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

(b) Khi $x=-3$ thì $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c}$.

(c) Khi $x=\frac{1}{3}$ thì $\overrightarrow{a}$ cùng phương $$\overrightarrow{c}$.

(d) $$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{d}\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=20\end{array}th\grave{ı}\overrightarrow{d}=(3;-1)$$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=2a,AC=3a,\widehat{BAC}=60^{{}^{\circ }}$. Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $BC$. Điểm $J$ thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn: $12AJ=7AC$. Khi đó:
(a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a^2$
(b) $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$
(c) $\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$
(d) $AI\perp BJ$

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $a$, có trọng tâm $G$. Khi đó:
$a$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$
$b$ $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{4}$
$c$ $\widehat{AGB}=120^{{}^{\circ }}$
$d$ $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\frac{a^2}{6}$